1.1. El procedimiento geométrico hace un paso intermedio entre el ojo y el objeto real: hace “los planos” del objeto real y el observador, con lo cual la totalidad del problema lo pasa de las tres a dos dimensiones, según el sistema de proyección.
De ahí para adelante, el que usa la perspectiva, trabaja con “los planos” y no con el objeto real. Del objeto real y de la posición del observador real, solo se toman las medidas necesarias para hacer “los planos”: Planta y elevación.
1.2. Esencialmente “los planos” de un objeto y su observador son una planta y una elevación. La planta y la elevación están relacionadas entre sí y cumplen una condición esencial: la planta de una vista desde arriba en dirección perpendicular al piso en que está el observador y el objeto. A su vez, la elevación, en este caso, es una vista en dirección perpendicular lateral a la dirección en que está mirando el observador del objeto.
Esta relación de ortogonalidad, entre planta y elevación lateral, es fundamental que la recuerdes siempre, para no confundirse más adelante.
1.3. De esta manera, cada punto del objeto queda definido en su posición. En la planta, por las coordenadas “a” de profundidad y “b” de ancho; en la elevación lateral, por las coordenadas “a” de profundidad y “c” de altura.
Observarás que en la planta no aparece representada la altura: sólo hay dos dimensiones, porque el papel tiene 2 dimensiones solamente. En la elevación, se representa la dimensión que falta en la planta, la altura (“c”) pero no se representa en ancho “b”. Es el método ingenioso para robarle una dimensión de espacio tridimensional y poder manejarlo en un papel.
1.4. Observarás también que no hay dos o más puntos del objeto, que cumplan con las mismas medidas en las tres dimensiones, a partir del origen. Solo hay, cada vez, uno solo. Los puntos “A” y “B”, por ejemplo, tienen las mismas coordenadas (“b” y “c”), pero tienen distinta la coordenada “a” de profundidad. Esto explica que el objeto entero puede ser representado por sus puntos, porque cada uno de ellos tiene sus coordenadas exclusivas, lo cual conviene recordar en situaciones complicadas.
1.5. Si tú giras el objeto en la planta, casi todos sus puntos cambian de posición. El “casi” se debe a que el giro lo puedes efectuar en torno al eje de uno de sus esquinas, por ejemplo, y en ese caso, los puntos de ese eje no cambian de posición. Lógicamente, al cambiar de posición los puntos en la planta, cambian simultáneamente los puntos en elevación.
1.6. Si el objeto gira, por ejemplo, 45º en la planta, la distancia BA puedes medirla en la planta igual, que antes del giro. Pero en la elevación, la distancia BA se acorta, ya que no refleja sus verdaderas medidas en la elevación y se dice entonces que BA, en la elevación, “no aparece en verdadera magnitud”. Lo mismo sucede si, sin girar el objeto, lo levantas en 45º (por ejemplo) del respaldo: la distancia BA se acorta en la planta, pero aparece en verdadera magnitud en la elevación.
Sin embargo, en ambos casos, todos los puntos están invariablemente en su verdadera posición en el espaci, la cual se puede determinar midiendo, la planta y la elevación, sus coordenadas “a”, “b” y “c”. En posiciones complicadas, hay que abandonar la intuición y medir coordenadas de puntos.
1.7. Es importante tener presente que la representación de los ángulos () , o sea las pendientes, se produce el mismo fenómeno de pérdida de verdadera magnitud.
Por ejemplo, el respaldo del objeto en la figura 1.5 está más vertical que an la figura 1,1, en la cual aparece su verdadera magnitud.
Para imaginar esto con facilidad, ya que esta situación se repite mucho en las perspectivas, trae una escuadra de sesenta grados, deja el cateto mayor horizontal y el menor vertical y observa el cambio de pendiente que ocurra en la hipotenusa, al girar la escuadra si perder la horizontal y la vertical de ambos catetos.
Observada en dos dimensiones, la hipotenusa se hace gradualmente máspendiente a medida que avanza el giro, hasta alcanzar una posición límite vertical. La única vez que la hipotenusa aparece con su pendiente (y largo) en verdadera magnitud, es en la posición inicial. Gradualmente disminuye la distancia AB manteniéndose igual la altura. En la posición límite, la distancia AB se convierte en un punto y esa magnitud deja de tener representación en esa elevación.
1.8 Llevar al límite las situaciones para deducir una dirección , es un procedimiento muy útil. La clave es descomponer en pasos una posición complicada, partiendo desde un origen conocido y haciendo cada vez un giro conocido.
Por ejemplo: trata de deducir en qué posición final y cuántos giros, puedes lobrar qne en las plantas y elevaciones anteriores, ninguna magnitud del mueble aparezca en verdadera magnitud. ..
Otro ejemplo: Trata de deducir de qué ancho y por qu, aparecería el espesor del respaldo en la elevación de la figura 1.5. (todas estas cuestiones van a aparecer más tarde en la deducción del movimiento y el escorzo en el cuerpo humano)
2.1 Una vez hechos “los planos” del objeto y su observador, dibujas en la planta y en la elevación un Planod e Proyección (“P”), en la posición que quieras. Tanto en planta como en elevación el palno de proyección aparece como una sola línea. La posición del plano de proyección en la planta te va a dar la escala de la perspectiva con respecto a la escala de la planta y tiene las mismas coordenadas “a”, tanto en planta como en elevación.
2.2 A continuaciónn unes con una línea cada punto del objeto con el punto del observadodr. Llamemos a esas líneas “rayos” (porque hacen la función de rayos luminosos). Esto se hace tanto en planta como en elevación.
Lógicamente el rayo correspondiente a cada punto del objeto va a cortar el plano de proyección en un punto particular, que tendrá sus coordenadas propias también en el plano de poryección.
2.3 sin embargo, para medir las ubicaciones de estos puntos en el plano de proyección, no se usan mas coordenadas situadas en los bordes, con la FIG. 1.1 –las nuevas coordenadas son el HORIZONTE y el EJE CENTRAL.
La perspectiva geométrica, supone que el observador mira rígidamente en una dirección. No mira a cada objeto, sino que mira en una dirección, que es el EJE DE VISION. Este eje está contenido simultáneamente en dos planos: un plano ABCD (azul) y un plano EFGH que es perpendicular al anterior. Si tú mueves la cabeza hacia arriba, o sea el eje de visión se dirige hacia arriba, junto con él se trasladan ambos planos ideales. De tal manera que el plano ideal EFGH no es necesariamente orizontal. Si tú enchuecas
La cabeza hacia un lado, ambos planos giran juntos con ella en torno al eje de visión, y ni el plano ideal ABCD será entonces vertical, ni el EFGH será horizontal.
El plano de proyección (rojo) se coloca perpendicular al eje de visión y corta, entonces el plano vertical (azul) y el horizontal (negro).
La interferencia de estos 3 planos forma, en el plano de proyección, dos líneas fundamentales: una línea vertical (encuentro de plano vertical con el palno de proyección que es el EJE CENTRA; y una línea horizontal (centro del plano horizontal con el plano de proyección) que es la llamada HORIZONTE.
El encuentro del plano vertical en el suel de la planta, también se llama eje central, y sirve para situar en ella la dirección de la visión y la posición del plano de proyección.
2.4 Por lo tanto, la medición de los puntos de interferencia de los rayos provenientes del objeto sobre el plano de proyección, va a hacerse tomando como referencia el horizonte y el eje central.
2.5 La “perspectiva” de un objeto es, pues, la transformación geométrica de un cuerpo, que se dibuja en el plano de proyección. Las “plantas” y “elevaciones” son simples medidas auxiliares. Como el Plano de Proyección tiene dos dimensiones, observarás que cada punto queda definido solo por dos dimensiones: una de ancho (“b”) con respecto al eje central y una de altos (“c”) con respecto al horizonte.
La tercera dimensión )”a”) de profundidad queda repreesentada indirectamente por la transformación que sufre el objeto al proyectar sus puntos a partir de un foco. Esta es pues la diferencia con el sistema de “planos” (plantas y elevaciones) que no representan –en cada caso por separado, la dimensión.
3.1 Para hacer la perspectiva necesitas un tercer papel, que representa el plano de proyección y es a la vez el papel en que dibujas.
Primero trazas el eje vertical al centro y la línea del horizonte.
3.2 Apoyando en estas coordenadas, trasladas al papel las medidas de cada punto, provenientes tanto de la planta como de la elevación. Me refiero a las medidas de interferencia de los rayos con el plano de proyección.
3.3 El dibujo resultará un conjunto de puntos.
Al uni estos puntos, aparecerá el objeto en perspectiva.
Este es estrictamente el sistema de la perspectiva, que tú puedes hacer también dibujando en el vidrio de una ventana (plano de proyección) con un solo ojo abierto e inmóvil, y enfrentando el objeto real.
4. En el renacimiento se hizo el procedimiento del vidrio para ejecutar y analizar geométricamente la perspectiva. Los grabados de Durero muestran el procedimiento seguido.
4.1 Pronto se descubrió que en los trazados obtenidos, las líneas del objeto que estaban en la misma dirección de la mirada –en planta- concurrían todas a un solo foco, sistuado en lo que tradicionalmente está el horizonte de un cuadro. (altura del ojo del observador).
Esto simplificaba las cosas, porque muchos puntos del objeto real, situados en la misma línea, podían ser gobernados por una sola línea, sin necesidad de levantar cad apunto independiente en la perspectiva.
4.2 Se estudió entonces qué sucedería si las líneas fundamentales del objeto no estuvieran en la dirección de la mirada, sino –supongamos- a 45º de inclinación. Se descubrió entonces que las líneas de fuga no concurrían a un punto, sino a dos puntos de fuga (PF1) y (PF2) situados ambos en el horizonte. Pero ¿cuál er ala ley geométrica de ubicación de ambos puntos dentro del horizonte?
Se descubrió que en en un cuerpo ortogonal –EN PLANTA- en el encuentro del plano de proyección (P) con la paralela a uno de los lados del objeto, que pasa por el punto del observador. El punto 2 se encuentra en igual forma con la pralela al otro lado del objeto.
4.3 Surgió entonces un problema: ¿qué ley de variación siguen estos puntos de fuga al variar el objeto en cualquier posición?
Se vio que a ambos puntos, los une una relación rígida de posición en que se cumple siempre la ley de las paralelas que pasan por el punto =, del observadodr.
Al girar gradualmente el objeto, el punto 2 se aproxima al eje central y al mismo tiempo, el punto 1 se aleja en crecientes progresiones de él.
Cuando el punto 2 llega al eje, el punto 1 llega al infinito: horizontal: ver punto 4.1
4.4 Como caso particular de la situación de 4.2 y 4.3 conviene señalar que la ley de las paralelas se cumple igualmente para cuerpos cuyas líneas fundamentales nen planta no sean ortogonales. E este caso, las líneas 1 o 2 (fig. 4.8) no van a formar en planta un ángulo rectángulo y se formará ahí un ángulo obtuso o agudo.
A este respecto, quisiera prevenirte de una dificultad muy común que se presenta cuando se trabaja a ojo, o sea, cuando no se dispone de una panta y se fijan discrecionalmente los puntos 1 y 2 en la perspectiva. Hay veces en que las posiciones elegidas par alo spuntos de fuga en el horizonte, no corresponden a un ángulo recto y el cuerpo se ve imperceptiblemente deforme. Quiero decir que si con esa perspectiva ya dibujada hiciéramos el proceso inverso de deducir esa perspectiva la planta que le correspondería, encontraríamos la evidencia de qun cuerpo que, queriendo ser ortogonal resulta con sus lados fundamentales en un ángulo agudo u obtuso.
Por esta razón, los que tienen más práctica, evitan -cuando dibujan a ojo- posiciones como las 4.2 y prefieren la 4.3, que es menos evidente y controlable por el ojo cuando se produce este defecto.
5.1 El mismo sistema de las paralelas para encontrar los puntos de fuga descritos anteriormente, se va a hacer evidente en la elevación, cuando las líneas fundamentales del objeto se salen, o mejor dicho, dejan de ser paralelas al eje de visión o al eje central en el plano de proyección (ver Fig. 2.5) o sea, los dos ejes de referencia que gobiernan la elevación.
Dicho de un modo más simple, y suponiendo que el eje de visión es horizontal: El sistema de las paralelas se va a emplear en la elevación cuando las líneas fundamentales del objeto se salgan de la horizontal y la vertical.
5.2 Previamente, quiero advertirte que los casos en elevación, los tenemos que examinar vinculados o referidos simultáneamente a una situación en planta.
Deseo recorrer una secuencia de sasos, según la posición del objeto en relación al observador.
5.3 Evidentemente, el caso más elemental es la de enfrentamiento con un objeto de lados ortogonales como el descrito en la figura 1.1 o 4.1.
La cuestión es cómo encuentro los puntos de fuga cuando, en posición, el objeto gira como en 1.6
Se cumple en elevación la ley de las paralelas. Es decir, dentro de esta posición, las líneas del objeto que se alejan del observador ascendiendo, se fugan en un punto PF3 que está sobre el horizonte y también en el eje central.
5.4 Podrás observar, si vuelves esta hoja en posición horizontal, que la figura 5.3 se parece extraordinariamente a la figura 4.2, considerando que el horizonte se ha convertido en el eje central y el eje central en el horizonte. La única diferencia está en que el “nuevo” horizonte en 5.3 pasa por el medio del objeto, mientras en 4.2 está sobre el objeto; y el eje central “nuevo” en 5.3 está desplazado hacia un lado del objeto y no al centro, como en la figura 4.2
5.5 Este simple artificio permite demostrar que la posición relativa y la variación de los focos 3 y 4 superior e inferior es igual al comportamiento de los 1 y 2
O sea, que cuando el objeto siga girando hasta la posición límite en que las líneas que eran originalmente verticales lleguen a la posición orizontal; y las que eran horizontales lleguen a la posición vertical; entonces, el punto de fuga 3 llega al infinito y el 4 coincide con el horizonte.
¿podrías dibujar el esquema de esa posición?
Igualmente, si el objeto inclinado en 45º, lo comenzamos a descender, el punto 3 llegará finalmente al horizonte y el 4 se alejará al infinito. Este límite escuando el objeto vuelve a suposición original en el suelo, como en 4.1
5.6 En este sentido, analizando la perspectiva de 4.1, constatamos que el punto 1 y el punto 3 coinciden en un solo punto (en los ejes de coordenadas que midan la perspectiv) y los puntos 2 y 4 se han alejado al infinito, provocando el paralelismo de horizontales que no se alejan del observador y de las verticales, con el plano de proyección.
Este es el caso particular que se llama “Perspectiva Caballera”
6.1 Poer, ¿qué pasa con los puntos de fuga 3 y 4, si en planta giramos el objeto en 45º, como en 4.2 y al mismo tiempo levantamos el objeto por el respaldo en 45º como la elevación de 5.3?
6.2 Aquí el asunto comienza a ponerse más complejo, si tu no tienes conocimientos de proyecciones. La dificultad no está en la perspectiva, sino en la ejecución de “los planos” que sirven para ejecutar la perspectiva: Concretamente, la dificultad está en cómo obtener la elevación, debido al hecho de que en ella van a aparecer gran cantidad de medidas que no están en verdadera magnitud.
Luego, hay que deducir dicha elevación de “los planos” en que esas medidas aparecen en verdadera magnitud, o sea, usar “planos auxiliares”
6.3 Aunque no lo analizaremos, la elevación4.2 ¿Cómo se hace?
- La elevación, como vimos en 1.1, contiene coordenadas “a” u coordenadas “c” del objeto.
- Lo que se va a deformar en la elevación 4.2 son las coordenadas “a” y no las “c”.
Colocamos, pues, la planta en posición para proyectar las coordenadas “a” de todos los puntos del objeto.
- Esas las confrontamos con las coordenadas “c” suministradas por la elevación auxiliar. El resultado es una nueva elevación en que aparecen las coordenadas “a” no en verdadera magnitud.
- Nótese que el objeto ha tenido un solo giro (en planta) a partir de la posición original 4.1
6.4 En el caso que nos ocupa ahora (6.1) es igual: La diferencia con el caso anterior está en que no solo la elevación tiene muchas medidas que no aparecen en verdadera magnitud, sino que esa vez la planta también tiene muchas medidas no en verdadera magnitud.
Nótese que el objeto ha tenido dos giros (uno en planta u otro en la elevación auxiliar) y que la planta es deducida de la posición inclinada de la elevación.
6.5 Teniendo la elevación que hemos encontrado en 6.4, podemos dar respuesta a la pregunta formulada en 6.1.
Primero se encuentran los puntos de fuga 1,2,3 y 4 en la planta y elevación. Nótese, en la elevación, que la paralela 3 –o y 4.o, son paralelas a las direcciones de la elevación auxiliar. (recordar 1.7)
El punto de fuga del costado de la izuqierda en la perspectiva del objeto, va a estar a la distancia “b” del eje central y a la distancia “c” sobre el horizonte.
Dicho de otro modo: si consideramos primero el objeto apoyado en sus cuatro patas (en un plano horizontal) el punto de fuga va a ser el PF1. Acto seguido alzaremos el respaldo y el punto 1 se traslada a la posición 3. Esta descomposición del movimiento es la señalada en 1.8 y es muy útil para el trazado de perspectivas a ojo.
El punto 4 se determina en igual forma que el 1, o sea, en la perpendicular al punto 1.
El punto 2 permanece en el horizonte porque, como se ve en la elevación, tanto las dos patas que se apoyan en el suelo, como los extremos de los brazos y del respaldo, permanecen paralelos al plano horizontal pero al giro en 45º del objeto.
7. Supongamos ahora, que a partir de la figura 6.5, efectuamos un nuevo giro en 45º del objeto, en torno al eje que une la pata delantera con el PF3 en la perspectiva.
¿Se entiende el giro?
O sea el objeto va a quedar volando en el resto y apoyado en una sola pata. Ninguna línea fundamental va a ofrecer paralelismo ni con el plano horizontal del horizonte, ni con el plano vertical del eje central, ni con el plano de proyección de la perspectiva. Ni en la planta ni en la elevación van a aparecer verdaderas magnitudes. Por otra parte, comienza a ser difícil para el dibujante representar intuitivamente la inclinación, de tal manera que aparezcan que los giros han sido todos de 45º, o sea que sea visible una especie de simetría perfecta y que no aparezca más inclinado de un lado que de otro.
De ahí para adelante, el que usa la perspectiva, trabaja con “los planos” y no con el objeto real. Del objeto real y de la posición del observador real, solo se toman las medidas necesarias para hacer “los planos”: Planta y elevación.
1.2. Esencialmente “los planos” de un objeto y su observador son una planta y una elevación. La planta y la elevación están relacionadas entre sí y cumplen una condición esencial: la planta de una vista desde arriba en dirección perpendicular al piso en que está el observador y el objeto. A su vez, la elevación, en este caso, es una vista en dirección perpendicular lateral a la dirección en que está mirando el observador del objeto.
Esta relación de ortogonalidad, entre planta y elevación lateral, es fundamental que la recuerdes siempre, para no confundirse más adelante.
1.3. De esta manera, cada punto del objeto queda definido en su posición. En la planta, por las coordenadas “a” de profundidad y “b” de ancho; en la elevación lateral, por las coordenadas “a” de profundidad y “c” de altura.
Observarás que en la planta no aparece representada la altura: sólo hay dos dimensiones, porque el papel tiene 2 dimensiones solamente. En la elevación, se representa la dimensión que falta en la planta, la altura (“c”) pero no se representa en ancho “b”. Es el método ingenioso para robarle una dimensión de espacio tridimensional y poder manejarlo en un papel.
1.4. Observarás también que no hay dos o más puntos del objeto, que cumplan con las mismas medidas en las tres dimensiones, a partir del origen. Solo hay, cada vez, uno solo. Los puntos “A” y “B”, por ejemplo, tienen las mismas coordenadas (“b” y “c”), pero tienen distinta la coordenada “a” de profundidad. Esto explica que el objeto entero puede ser representado por sus puntos, porque cada uno de ellos tiene sus coordenadas exclusivas, lo cual conviene recordar en situaciones complicadas.
1.5. Si tú giras el objeto en la planta, casi todos sus puntos cambian de posición. El “casi” se debe a que el giro lo puedes efectuar en torno al eje de uno de sus esquinas, por ejemplo, y en ese caso, los puntos de ese eje no cambian de posición. Lógicamente, al cambiar de posición los puntos en la planta, cambian simultáneamente los puntos en elevación.
1.6. Si el objeto gira, por ejemplo, 45º en la planta, la distancia BA puedes medirla en la planta igual, que antes del giro. Pero en la elevación, la distancia BA se acorta, ya que no refleja sus verdaderas medidas en la elevación y se dice entonces que BA, en la elevación, “no aparece en verdadera magnitud”. Lo mismo sucede si, sin girar el objeto, lo levantas en 45º (por ejemplo) del respaldo: la distancia BA se acorta en la planta, pero aparece en verdadera magnitud en la elevación.
Sin embargo, en ambos casos, todos los puntos están invariablemente en su verdadera posición en el espaci, la cual se puede determinar midiendo, la planta y la elevación, sus coordenadas “a”, “b” y “c”. En posiciones complicadas, hay que abandonar la intuición y medir coordenadas de puntos.
1.7. Es importante tener presente que la representación de los ángulos () , o sea las pendientes, se produce el mismo fenómeno de pérdida de verdadera magnitud.
Por ejemplo, el respaldo del objeto en la figura 1.5 está más vertical que an la figura 1,1, en la cual aparece su verdadera magnitud.
Para imaginar esto con facilidad, ya que esta situación se repite mucho en las perspectivas, trae una escuadra de sesenta grados, deja el cateto mayor horizontal y el menor vertical y observa el cambio de pendiente que ocurra en la hipotenusa, al girar la escuadra si perder la horizontal y la vertical de ambos catetos.
Observada en dos dimensiones, la hipotenusa se hace gradualmente máspendiente a medida que avanza el giro, hasta alcanzar una posición límite vertical. La única vez que la hipotenusa aparece con su pendiente (y largo) en verdadera magnitud, es en la posición inicial. Gradualmente disminuye la distancia AB manteniéndose igual la altura. En la posición límite, la distancia AB se convierte en un punto y esa magnitud deja de tener representación en esa elevación.
1.8 Llevar al límite las situaciones para deducir una dirección , es un procedimiento muy útil. La clave es descomponer en pasos una posición complicada, partiendo desde un origen conocido y haciendo cada vez un giro conocido.
Por ejemplo: trata de deducir en qué posición final y cuántos giros, puedes lobrar qne en las plantas y elevaciones anteriores, ninguna magnitud del mueble aparezca en verdadera magnitud. ..
Otro ejemplo: Trata de deducir de qué ancho y por qu, aparecería el espesor del respaldo en la elevación de la figura 1.5. (todas estas cuestiones van a aparecer más tarde en la deducción del movimiento y el escorzo en el cuerpo humano)
2.1 Una vez hechos “los planos” del objeto y su observador, dibujas en la planta y en la elevación un Planod e Proyección (“P”), en la posición que quieras. Tanto en planta como en elevación el palno de proyección aparece como una sola línea. La posición del plano de proyección en la planta te va a dar la escala de la perspectiva con respecto a la escala de la planta y tiene las mismas coordenadas “a”, tanto en planta como en elevación.
2.2 A continuaciónn unes con una línea cada punto del objeto con el punto del observadodr. Llamemos a esas líneas “rayos” (porque hacen la función de rayos luminosos). Esto se hace tanto en planta como en elevación.
Lógicamente el rayo correspondiente a cada punto del objeto va a cortar el plano de proyección en un punto particular, que tendrá sus coordenadas propias también en el plano de poryección.
2.3 sin embargo, para medir las ubicaciones de estos puntos en el plano de proyección, no se usan mas coordenadas situadas en los bordes, con la FIG. 1.1 –las nuevas coordenadas son el HORIZONTE y el EJE CENTRAL.
La perspectiva geométrica, supone que el observador mira rígidamente en una dirección. No mira a cada objeto, sino que mira en una dirección, que es el EJE DE VISION. Este eje está contenido simultáneamente en dos planos: un plano ABCD (azul) y un plano EFGH que es perpendicular al anterior. Si tú mueves la cabeza hacia arriba, o sea el eje de visión se dirige hacia arriba, junto con él se trasladan ambos planos ideales. De tal manera que el plano ideal EFGH no es necesariamente orizontal. Si tú enchuecas
La cabeza hacia un lado, ambos planos giran juntos con ella en torno al eje de visión, y ni el plano ideal ABCD será entonces vertical, ni el EFGH será horizontal.
El plano de proyección (rojo) se coloca perpendicular al eje de visión y corta, entonces el plano vertical (azul) y el horizontal (negro).
La interferencia de estos 3 planos forma, en el plano de proyección, dos líneas fundamentales: una línea vertical (encuentro de plano vertical con el palno de proyección que es el EJE CENTRA; y una línea horizontal (centro del plano horizontal con el plano de proyección) que es la llamada HORIZONTE.
El encuentro del plano vertical en el suel de la planta, también se llama eje central, y sirve para situar en ella la dirección de la visión y la posición del plano de proyección.
2.4 Por lo tanto, la medición de los puntos de interferencia de los rayos provenientes del objeto sobre el plano de proyección, va a hacerse tomando como referencia el horizonte y el eje central.
2.5 La “perspectiva” de un objeto es, pues, la transformación geométrica de un cuerpo, que se dibuja en el plano de proyección. Las “plantas” y “elevaciones” son simples medidas auxiliares. Como el Plano de Proyección tiene dos dimensiones, observarás que cada punto queda definido solo por dos dimensiones: una de ancho (“b”) con respecto al eje central y una de altos (“c”) con respecto al horizonte.
La tercera dimensión )”a”) de profundidad queda repreesentada indirectamente por la transformación que sufre el objeto al proyectar sus puntos a partir de un foco. Esta es pues la diferencia con el sistema de “planos” (plantas y elevaciones) que no representan –en cada caso por separado, la dimensión.
3.1 Para hacer la perspectiva necesitas un tercer papel, que representa el plano de proyección y es a la vez el papel en que dibujas.
Primero trazas el eje vertical al centro y la línea del horizonte.
3.2 Apoyando en estas coordenadas, trasladas al papel las medidas de cada punto, provenientes tanto de la planta como de la elevación. Me refiero a las medidas de interferencia de los rayos con el plano de proyección.
3.3 El dibujo resultará un conjunto de puntos.
Al uni estos puntos, aparecerá el objeto en perspectiva.
Este es estrictamente el sistema de la perspectiva, que tú puedes hacer también dibujando en el vidrio de una ventana (plano de proyección) con un solo ojo abierto e inmóvil, y enfrentando el objeto real.
4. En el renacimiento se hizo el procedimiento del vidrio para ejecutar y analizar geométricamente la perspectiva. Los grabados de Durero muestran el procedimiento seguido.
4.1 Pronto se descubrió que en los trazados obtenidos, las líneas del objeto que estaban en la misma dirección de la mirada –en planta- concurrían todas a un solo foco, sistuado en lo que tradicionalmente está el horizonte de un cuadro. (altura del ojo del observador).
Esto simplificaba las cosas, porque muchos puntos del objeto real, situados en la misma línea, podían ser gobernados por una sola línea, sin necesidad de levantar cad apunto independiente en la perspectiva.
4.2 Se estudió entonces qué sucedería si las líneas fundamentales del objeto no estuvieran en la dirección de la mirada, sino –supongamos- a 45º de inclinación. Se descubrió entonces que las líneas de fuga no concurrían a un punto, sino a dos puntos de fuga (PF1) y (PF2) situados ambos en el horizonte. Pero ¿cuál er ala ley geométrica de ubicación de ambos puntos dentro del horizonte?
Se descubrió que en en un cuerpo ortogonal –EN PLANTA- en el encuentro del plano de proyección (P) con la paralela a uno de los lados del objeto, que pasa por el punto del observador. El punto 2 se encuentra en igual forma con la pralela al otro lado del objeto.
4.3 Surgió entonces un problema: ¿qué ley de variación siguen estos puntos de fuga al variar el objeto en cualquier posición?
Se vio que a ambos puntos, los une una relación rígida de posición en que se cumple siempre la ley de las paralelas que pasan por el punto =, del observadodr.
Al girar gradualmente el objeto, el punto 2 se aproxima al eje central y al mismo tiempo, el punto 1 se aleja en crecientes progresiones de él.
Cuando el punto 2 llega al eje, el punto 1 llega al infinito: horizontal: ver punto 4.1
4.4 Como caso particular de la situación de 4.2 y 4.3 conviene señalar que la ley de las paralelas se cumple igualmente para cuerpos cuyas líneas fundamentales nen planta no sean ortogonales. E este caso, las líneas 1 o 2 (fig. 4.8) no van a formar en planta un ángulo rectángulo y se formará ahí un ángulo obtuso o agudo.
A este respecto, quisiera prevenirte de una dificultad muy común que se presenta cuando se trabaja a ojo, o sea, cuando no se dispone de una panta y se fijan discrecionalmente los puntos 1 y 2 en la perspectiva. Hay veces en que las posiciones elegidas par alo spuntos de fuga en el horizonte, no corresponden a un ángulo recto y el cuerpo se ve imperceptiblemente deforme. Quiero decir que si con esa perspectiva ya dibujada hiciéramos el proceso inverso de deducir esa perspectiva la planta que le correspondería, encontraríamos la evidencia de qun cuerpo que, queriendo ser ortogonal resulta con sus lados fundamentales en un ángulo agudo u obtuso.
Por esta razón, los que tienen más práctica, evitan -cuando dibujan a ojo- posiciones como las 4.2 y prefieren la 4.3, que es menos evidente y controlable por el ojo cuando se produce este defecto.
5.1 El mismo sistema de las paralelas para encontrar los puntos de fuga descritos anteriormente, se va a hacer evidente en la elevación, cuando las líneas fundamentales del objeto se salen, o mejor dicho, dejan de ser paralelas al eje de visión o al eje central en el plano de proyección (ver Fig. 2.5) o sea, los dos ejes de referencia que gobiernan la elevación.
Dicho de un modo más simple, y suponiendo que el eje de visión es horizontal: El sistema de las paralelas se va a emplear en la elevación cuando las líneas fundamentales del objeto se salgan de la horizontal y la vertical.
5.2 Previamente, quiero advertirte que los casos en elevación, los tenemos que examinar vinculados o referidos simultáneamente a una situación en planta.
Deseo recorrer una secuencia de sasos, según la posición del objeto en relación al observador.
5.3 Evidentemente, el caso más elemental es la de enfrentamiento con un objeto de lados ortogonales como el descrito en la figura 1.1 o 4.1.
La cuestión es cómo encuentro los puntos de fuga cuando, en posición, el objeto gira como en 1.6
Se cumple en elevación la ley de las paralelas. Es decir, dentro de esta posición, las líneas del objeto que se alejan del observador ascendiendo, se fugan en un punto PF3 que está sobre el horizonte y también en el eje central.
5.4 Podrás observar, si vuelves esta hoja en posición horizontal, que la figura 5.3 se parece extraordinariamente a la figura 4.2, considerando que el horizonte se ha convertido en el eje central y el eje central en el horizonte. La única diferencia está en que el “nuevo” horizonte en 5.3 pasa por el medio del objeto, mientras en 4.2 está sobre el objeto; y el eje central “nuevo” en 5.3 está desplazado hacia un lado del objeto y no al centro, como en la figura 4.2
5.5 Este simple artificio permite demostrar que la posición relativa y la variación de los focos 3 y 4 superior e inferior es igual al comportamiento de los 1 y 2
O sea, que cuando el objeto siga girando hasta la posición límite en que las líneas que eran originalmente verticales lleguen a la posición orizontal; y las que eran horizontales lleguen a la posición vertical; entonces, el punto de fuga 3 llega al infinito y el 4 coincide con el horizonte.
¿podrías dibujar el esquema de esa posición?
Igualmente, si el objeto inclinado en 45º, lo comenzamos a descender, el punto 3 llegará finalmente al horizonte y el 4 se alejará al infinito. Este límite escuando el objeto vuelve a suposición original en el suelo, como en 4.1
5.6 En este sentido, analizando la perspectiva de 4.1, constatamos que el punto 1 y el punto 3 coinciden en un solo punto (en los ejes de coordenadas que midan la perspectiv) y los puntos 2 y 4 se han alejado al infinito, provocando el paralelismo de horizontales que no se alejan del observador y de las verticales, con el plano de proyección.
Este es el caso particular que se llama “Perspectiva Caballera”
6.1 Poer, ¿qué pasa con los puntos de fuga 3 y 4, si en planta giramos el objeto en 45º, como en 4.2 y al mismo tiempo levantamos el objeto por el respaldo en 45º como la elevación de 5.3?
6.2 Aquí el asunto comienza a ponerse más complejo, si tu no tienes conocimientos de proyecciones. La dificultad no está en la perspectiva, sino en la ejecución de “los planos” que sirven para ejecutar la perspectiva: Concretamente, la dificultad está en cómo obtener la elevación, debido al hecho de que en ella van a aparecer gran cantidad de medidas que no están en verdadera magnitud.
Luego, hay que deducir dicha elevación de “los planos” en que esas medidas aparecen en verdadera magnitud, o sea, usar “planos auxiliares”
6.3 Aunque no lo analizaremos, la elevación4.2 ¿Cómo se hace?
- La elevación, como vimos en 1.1, contiene coordenadas “a” u coordenadas “c” del objeto.
- Lo que se va a deformar en la elevación 4.2 son las coordenadas “a” y no las “c”.
Colocamos, pues, la planta en posición para proyectar las coordenadas “a” de todos los puntos del objeto.
- Esas las confrontamos con las coordenadas “c” suministradas por la elevación auxiliar. El resultado es una nueva elevación en que aparecen las coordenadas “a” no en verdadera magnitud.
- Nótese que el objeto ha tenido un solo giro (en planta) a partir de la posición original 4.1
6.4 En el caso que nos ocupa ahora (6.1) es igual: La diferencia con el caso anterior está en que no solo la elevación tiene muchas medidas que no aparecen en verdadera magnitud, sino que esa vez la planta también tiene muchas medidas no en verdadera magnitud.
Nótese que el objeto ha tenido dos giros (uno en planta u otro en la elevación auxiliar) y que la planta es deducida de la posición inclinada de la elevación.
6.5 Teniendo la elevación que hemos encontrado en 6.4, podemos dar respuesta a la pregunta formulada en 6.1.
Primero se encuentran los puntos de fuga 1,2,3 y 4 en la planta y elevación. Nótese, en la elevación, que la paralela 3 –o y 4.o, son paralelas a las direcciones de la elevación auxiliar. (recordar 1.7)
El punto de fuga del costado de la izuqierda en la perspectiva del objeto, va a estar a la distancia “b” del eje central y a la distancia “c” sobre el horizonte.
Dicho de otro modo: si consideramos primero el objeto apoyado en sus cuatro patas (en un plano horizontal) el punto de fuga va a ser el PF1. Acto seguido alzaremos el respaldo y el punto 1 se traslada a la posición 3. Esta descomposición del movimiento es la señalada en 1.8 y es muy útil para el trazado de perspectivas a ojo.
El punto 4 se determina en igual forma que el 1, o sea, en la perpendicular al punto 1.
El punto 2 permanece en el horizonte porque, como se ve en la elevación, tanto las dos patas que se apoyan en el suelo, como los extremos de los brazos y del respaldo, permanecen paralelos al plano horizontal pero al giro en 45º del objeto.
7. Supongamos ahora, que a partir de la figura 6.5, efectuamos un nuevo giro en 45º del objeto, en torno al eje que une la pata delantera con el PF3 en la perspectiva.
¿Se entiende el giro?
O sea el objeto va a quedar volando en el resto y apoyado en una sola pata. Ninguna línea fundamental va a ofrecer paralelismo ni con el plano horizontal del horizonte, ni con el plano vertical del eje central, ni con el plano de proyección de la perspectiva. Ni en la planta ni en la elevación van a aparecer verdaderas magnitudes. Por otra parte, comienza a ser difícil para el dibujante representar intuitivamente la inclinación, de tal manera que aparezcan que los giros han sido todos de 45º, o sea que sea visible una especie de simetría perfecta y que no aparezca más inclinado de un lado que de otro.